Applied Mathematics Seminar

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Sonia Fliss (ENSTA)

Thursday, November 7th, 10h — Salle de séminaire du CERMICS

La méthode des demis-espaces raccordés ou Halfspace Matching Method pour la resolution de problèmes posés en domaines non bornés

Depuis quelques années maintenant, je travaille sur l’analyse et la simulation de phénomènes de propagation d’ondes dans des milieux non bornés et complexes. La complexité ici vient de la nature des équations (équations de Maxwell ou élasticité), des caractéristiques physiques du milieu ( représentés par des coefficients qui peuvent être constants par morceaux, périodiques ou anisotropes jusqu’a l’infini) ou sa géométrie (milieux infinis 2D ou 3D, plaques 3D). L’analyse et la simulation des équations d’ondes acoustiques, électromagnétiques ou élastiques est un sujet assez ancien et classique dans le cas où les milieux sont infinis mais homogènes et isotropes. Elle fait encore l’objet de beaucoup de travaux. Il existe beaucoup moins de travaux quand le milieu est complexe et d’ailleurs les méthodes qui marchent dans le cas où le milieu est homogène isotrope ne s’étende pas à mes milieux complexes.

Nous avons proposé une méthode dite des demis-espaces raccordés ou Halfspace Matching Method qui permet de traiter les complexités évoquées plus haut. Elle repose sur une idée assez simple et générale: la solution de problèmes de demi-espace peut être exprimée grâce à sa trace au bord du demi-espace, via la transformée de Fourier dans la direction transversale dans le cas où le milieu est homogène ou autre exemple, via la transformation de Floquet-Bloch dans le cas où le milieu est périodique, et ce quelque soit l’équation pourvue qu’elle soit linéaire.
Il suffit ensuite de coupler ces différentes representations intégrales de la solution par un calcul Elements finis en domaine borné qui prendrait en compte des termes sources ou des perturbations.

Dans cette présentation, je présenterai la méthode et quelques éléments d’analyse sur un problème simple et j’expliquerai comment elle s’étend à des situations plus complexes.

Ce travail a été réalisé en collaboration avec Anne-Sophie Bonnet-Ben Dhia (POEMS), Patrick Joly (POEMS), Yohanes Tjandrawidjaja (POEMS), Antoine Tonnoir (Universite de Rouen).


David Herzog (Iowa State University)

Thursday, November 21st, 10h — Salle de séminaire du CERMICS

Ergodicity and Lyapunov functions for Langevin dynamics with singular potentials

Abstract: We discuss Langevin dynamics of N particles on R^d interacting
through a singular repulsive potential, e.g. the well-known Lennard-Jones
type, and show that the system converges to the unique invariant Gibbs
measure exponentially fast in a weighted total variation distance. The
proof of the result turns on an explicit construction of a Lyapunov function.
In contrast to previous results for such systems, our result implies
geometric convergence to equilibrium starting from an essentially optimal
family of initial distributions.


Denis Talay (Inria Sophia-Antipolis)

Wednesday, November 27th, 14h30 — Salle F106

TBA


Laure Dumaz (CEREMADE)

Thursday, December 12th, 10h — Salle de séminaire du CERMICS

Localization of the continuous Anderson hamiltonian in 1-d and its transition

We consider the continuous Schrödinger operator – d^2/d^x^2 + B’(x) on the interval [0,L] where the potential B’ is a white noise. We study the spectrum of this operator in the large L limit. We show the convergence of the smallest eigenvalues as well as the eigenvalues in the bulk towards a Poisson point process, and the localization of the associated eigenvectors in a precise sense. We also find that the transition towards delocalization holds for large eigenvalues of order L, where the limiting law of the point process corresponds to Sch_tau, a process introduced by Kritchevski, Valko and Virag for discrete Schrodinger operators. In this case, the eigenvectors behave like the exponential Brownian motion plus a drift, which proves a conjecture of Rifkind Virag. Joint works with Cyril Labbé.


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Organizers: Antoine Levitt, Julien Reygner.