Scientific computing seminar

Stéphane Nonnenmacher (Orsay)

Jeudi 18 mai 2017 à 10h (Salle de séminaire du CERMICS)

Perturbations aléatoires d’opérateurs non auto-adjoints, et la Fonction Analytique Gaussienne
Le spectre d’un opérateur non auto-adjoint peut être très instable
sous l’effet de petites perturbations: : les simulations numériques
montrent que le spectre de l’opérateur initial peut “exploser” sous
l’effet de perturbations (cette instabilité est parfois qualifiée
d'”effet pseudospectral”). Nous nous intéressons au comportement du
spectre (discret) d’opérateurs différentiels semiclassiques non
auto-adjoints, soumis à de petites perturbations aléatoires. Des
travaux de Hager et Sjöstrand ont montré que, dans la limite
semiclassique, avec une grande probabilité les valeurs propres de
l’opérateur perturbé se distribuent de façon à satisfaire une “loi de
Weyl” dans le plan complexe.

Au-delà de la densité spectrale, nous nous intéressons aux
corrélations entre les valeurs propres de l’opérateur perturbé
aléatoirement. Ces corrélations se manifestent à l’échelle
(microscopique) de la distance moyenne entre valeurs proches
voisines. Dans le cas d’opérateurs unidimensionnels, elles dépendent
de la structure des “couches d’énergie” du symbole de l’opérateur
(génériquement, chaque couche d’énergie est constituée d’un ensemble
fini de points), mais s’expriment en termes d’un objet aléatoire
“universel”, la Fonction Analytique Gaussienne (FAG).

Introduite dans le contexte du chaos quantique, la FAG avait pour rôle
de modéliser les fonctions propres de systèmes chaotiques quantiques,
exprimés en représentation holomorphe (représentation de Bargmann).
Dans le cas présent, la FAG apparaît lorsqu’on étudie le
déterminant spectral effectif de notre opérateur perturbé
aléatoirement. On montre donc que le spectre de notre opérateur
perturbé ressemble, statistiquement, aux zéros d’une (ou plusieurs) FAG.

Il s’agit d’un travail en collaboration avec Martin Vogel


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