Applied Mathematics Seminar

Alexei Lozinski (Besançon)

Monday, March 25th, 14h – Salle de séminaire du CERMICS

Méthodes de domaine fictif

Les méthodes du type domaine fictif permettent de discrétiser une EDP
sur un domaine complexe en utilisant un maillage d’arrière-plan simple
(typiquement cartésien) sur un domaine plus grand (typiquement un
rectangle). Les variantes classiques de ces méthodes reposent sur
l’extension de la solution au domaine fictif entier, sont très faciles à
mettre en œuvre, mais convergent lentement. Récemment, plusieurs
méthodes de domaine fictif à convergence optimale ont été proposées en
suivant le paradigme XFEM ou CutFEM. Contrairement aux approches
classiques, la formulation faible, et par conséquent la formulation
éléments finis, sont établies sur le domaine physique, bien que les
espaces d’approximation vivent toujours sur le maillage d’arrière-plan
qui peut être coupé de manière arbitraire par la frontière réelle. On
fait alors recours à une intégration numérique non triviale pour
calculer les contributions à la matrice d’éléments finis sur les
éléments de maillage coupés, ce qui rend la mise en œuvre plutôt
complexe. Nous avons proposé dans [1] de contourner cette complication
technique en introduisant une reformulation du problème basée sur
l’extension de la solution à un domaine fictif qui n’est que légèrement
plus grand que le domaine physique, à savoir l’union des éléments du
maillage ayant une intersection non vide avec ce dernier. À cet égard,
notre méthode est un compromis entre les méthodes du domaine fictif
classiques et celles du type XFEM-CutFEM. On se débarrasse ainsi de
l’intégration sur les éléments coupés, mais les intégrales sur la
frontière physique restent toujours présentes.
Nous présenterons aussi une modification de l’idée ci-haut, basée sur la
multiplication par le levelset, qui mène à une méthode dans laquelle
même les intégrales sur la frontière physique disparaissent; travail
avec Michel Duprez [2]. Dans tous les cas, la convergence optimale est
montrée théoriquement et confirmée par des tests numériques.

[1] A. Lozinski. A new fictitious domain method: Optimal convergence
without cut elements. arXiv:1901.03966.
[2] M. Duprez & A. Lozinski. $\phi$-FEM: a finite element method on
domains defined by level-sets. arXiv:1903.03703.


Sam Power (Cambridge)

Monday, May 13th, 10h – Salle de séminaire du CERMICS

A Constructive Approach to PDMPs

Piecewise-Deterministic Markov Processes (PDMPs) have attracted attention in recent years as a non-reversible alternative to traditional reversible MCMC methods. By using a combination of  deterministic dynamics and jump processes, these methods are often able to suppress random-walk behaviour and reach equilibrium rapidly. Although the PDMP framework accommodates at wide range of underlying dynamics in principle, existing approaches have tended to use quite simple dynamics, such as straight lines and elliptical orbits.

In this work, I present a procedure which allows one to use a general dynamical system in the PDMP framework to sample from a given measure. We establish that the procedure behaves correctly in a general setting, and also prove a completeness result; i.e. that all `correct’ procedures within a certain class must take the form described. Finally, specific, constructive recommendations are made for how to design and implement the resulting algorithms in practice.

This is joint work with Sergio Bacallado (Cambridge).


Matthieu Hillairet (Montpellier)

Monday, May 20th, 14h – Salle de séminaire du CERMICS

TBA


Archive of past seminars: here

Organizers: Antoine Levitt, Julien Reygner.